Köklü İfadeler Nedir ve Köklü İfadelerin Tarihçesi

KÖKLÜ  İFADELER

Köklü İfade Nedir?

Köklü Sayı üssü reel olan herhangi bir sayının kök içine alınarak gösterilmesine denir.

n, 1’den büyük pozitif bir tam sayı olmak üzere, 

an=xan=x  denklemini sağlayan a sayısına x’in ‘n’ dereceden kökü denir ve bu da

a=n√xa=xn  şeklinde gösterilir.

Eğer bir sayının üssü tam sayıysa elde edilecek köklü sayı da tam sayıda bulunan gizli birden ötürü aynı anlama gelmektedir ve bu sayının kök içinde yazılması anlamsızdır.

Köklü İfadelerin Tarihçesi

Cebrin bulunmadığı dönemlerde matematik problemlerinin çözümü için kullanılan teknikler bugünkünden oldukça farklı bir biçimde idi. Matematik ile ilgili elimize ulaşan ilk bilgileri incelersek hem Mısır hem de Babil tabletlerinde belli cebirsel soruların çözümü için geliştirilmiş algoritmalar karşımıza çıkar. Örnek olarak, Babilliler, kil üzerine yazılı, birçok örneğine sahip olduğumuz çarpım tablosunu yapmışlardır. Mısırlılar ise diğer tabletlerin yanısıra arasında kesirleri kullanmalarında onlara yardımcı olan tabletlere sahiptirler. Cebirin bu gelişimi elbette köklü ifadelerin gelişimini de etkilemiştir.

Babil Tabletlerinden (M.Ö 2600)

Dairenin çevresi 60, kirişin orta noktasının daireye olan en yakın uzaklığı 2’dir. Buna göre kirişin uzunluğu kaç birimdir?

2’nin iki katını al, 20’den 4’ü çıkar. Sonuç, 16. 20’nin karesini al, 400. 16’nın karesini al, 256. 400’den 256’yı çıkar, 144. 144’ün karekökünü bul, 12. Bu karekök kirişin uzunluğudur.

Mısır ve Babil matematiğini temel alarak büyüyen Antik Yunan matematiği de cebire büyük katkılar sağlamıştır.

Antik Yunanlı ünlü matematikçi Pisagor kendi adıyla anılan ve karekök içeren Pisagor Teoremi’ni ortaya çıkarmıştır. Pisagor’un öğrencilerinden olan Hippasus ise irrasyonel sayıları keşfetmiştir ve bunun bedelinde katledilmiştir.

√2'nin Hikayesi

Hippasus, sayılara dinsel bir saygı besleyen Pisagorcu Matematikçiler adlı bir topluluğa üyeydi. “Her şey sayıdır” şeklindeki vecizeleri, evrenin yapı taşlarının sayılar olduğunu ileri sürüyordu. Bilim ve metafizikten, müziğe ve ahlak kurallarına kadar her şeyin sayıların oranları ile tanımlanabilen ebedi yasaları izlediği de inançları arasındaydı. Dolayısıyla, her sayı böyle bir oran biçiminde yazılabilirdi. 5’i 5/1 olarak, 0,5’i 1/2 olarak yazmak gibi. Sonsuza uzayan bir ondalık sayı bile tam olarak ifade edilebilirdi. Bugün bunların tümüne irrasyonel sayılar diyoruz. Ama Hippasus bu ahenkli yasayı ihlal eden bir sayı bulmuştu; var olmaması gereken bir sayı.

Sorun basit bir şekil ile başladı: kenarları 1 birim olan bir kare. Pisagor Teoremi’ne göre köşegen uzunluğu 2’nin karekökü olmalıydı. Fakat Hippasus ne kadar denese de, bunu iki tam sayının oranı biçiminde ifade edemedi. Vazgeçmek yerine, bunun yapılamayacağını kanıtlamaya karar verdi. Hippasus, Pisagorcu dünya görüşünün doğru olduğunu varsayarak başladı: Kök 2’yi iki tam sayının oranı şeklinde yazmak mümkün olsun. Bu varsayımsal tam sayılara p ve q dedi. Oranın en basit haline indirgendiğini ve p ile q’nun ortak çarpanı olmadığını varsaydı. Kök 2’nin rasyonel olmadığını kanıtlamak için Hippasus’un p/q’nun var olamayacağını kanıtlaması gerekiyordu. Eşitliğin iki tarafını q ile çarpıp iki tarafın karekökünü aldı ve bu eşitliği elde etti. Bir sayıyı 2 ile çarpınca sonuç çift sayı çıkar. o zaman p^2 çift sayı olmalıdır. Eğer p tek sayı ise bu doğru olamaz, çünkü tek bir sayının kendisi ile çarpımı yine tek bir sayı verir. Bu nedenle p sayısı da çift sayı olmalıdır. O halde, a bir tam sayı olmak üzere, p’yi 2a olarak ifade edebiliriz. Denkleme bunu yerleştirip sadeleştirince, q^2 = 2a^2 çıkar. Yine, herhangi bir sayının 2 ile çarpımı çift sayı vereceğinden, q^2 çift sayı olmalıdır. Dolayısıyla q sayısı da çift sayı olmalıdır. Yani hem p, hem de q çift sayıdır. Fakat eğer bu doğruysa, bir ortak çarpanları var demektir: 2 sayısı. Ama bu da başlangıç ifadesine ters düşüyor. İşte böylelikle, Hippasus öyle bir oranın var olmadığı sonucuna ulaştı. 

Pisagor’un müritlerinden Hippasus da yanındaki arkadaşlarına “düşünüyorum da, bu soruna çözüm bulamadım” deyince kendisini denizde bulur.
Köklü sayıların aslında bu şekilde ortaya çıktığı günümüzde pek çok kişi tarafından savunulmaktadır.
Harezmî’nin Cebir’e ve Köklü Sayılara Katkıları
Cebir alanındaki çalışmaları:
Cebir sözcüğü de Harezmî’nin “El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il Cebri ve’l-Mukabele” (Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap) adlı eserinden gelmektedir. Bu eser aynı zamanda doğu ve batının ilk müstakil cebir kitabı olma özelliğini taşımaktadır.
Matematik alanındaki çalışmaları cebirin temelini oluşturmuştur. Bir dönem bulunduğu Hindistan’da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır. Harezmî’nin bu konuda yazdığı kitabın Algoritmi de numero Indorum adıyla Latince’ye tercüme edilmesi sonucu, sembollerden oluşan bu sistem ve sıfır, 12. yüzyılda batı dünyasına sunulmuştur. Hesab-ül Cebir vel-Mukabele adlı kitabı, matematik tarihinde, birinci ve ikinci dereceden denklemlerin sistematik çözümlerinin yer aldığı ilk eserdir. Bu nedenle Harezmî (Diophantus ile birlikte) “Cebir’in babası” olarak da bilinir. İngilizce’deki “algebra” ve bunun Türkçedeki karşılığı olan “cebir” sözcüğü, Harezmî’nin kitabındaki ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerinden biri olan “el-cebr”den gelmektedir.
Harezmî sıfır rakamını (0) ve x bilinmeyenini kullandığı bilinen ilk kişidir.

Karekök İşaretinin Bulunuşu
√¯ işaretinin tarihi 1525'e uzanır. Bu simgeye benzer bir simge, köklü sayılar için Alman Matematikçi Christoph Rudolff (1499-1545) tarafından Die Coss (1525) adlı kitabında kullanılmıştır. Matematik tarihçilerinden bazıları Rudolff’un bu sembolü İngilizcede “kök” anlamına gelen “radix” sözcüğünün ilk harfi olan küçük “r” den türettiğini varsaymışlardır.

Coss, Almanca yayımlanmış ilk cebir kitabıdır. Coss, “cosa”dan gelir. Cosa'da "bilinmeyen" anlamına kullanılan "şey" in Latincesidir. Cebircilere uzunca bir zaman bu yüzden kosistler, cebire de kosik sanat denmiştir.

***
Kaynaklar:

(2017)  Köklü Sayılar (Köklü İfadeler) Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri http://www.kpsskonu.com/genel-yetenek/matematik/koklu-sayilar-koklu-ifadeler-konu-anlatimi/ adresinden elde edildi.

Çağlar, S. (2017) Cebirsel İfadelerin Tarihine Yolculuk https://www.matematiksel.org/cebirsel-ifadelerin-tarihine-yolculuk/  adresinden elde edildi.

Çağlar, S.  (2017) 2’nin Karekökünün Hikâyesi https://www.matematiksel.org/2-nin-karekokunun-hikayesi/ adresinden elde edildi.

(2017) İrrasyonel Sayıların Keşfi ve Hippasus https://www.dunyaatlasi.com/irrasyonel-sayilarin-kesfi-ve-hippasus/ adresinden elde edildi.