Köklü Sayılarla İlgili İspatlar

√2'nin İrrasyonelliği

Kök ikinin, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök iki = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

2(b^2)=(a^2)          (2)

Şimdi en başta belirttiğimiz üzere a ve b'nin aralarında asal olması için her ikisinin de çift sayı olmaması gerekir. Bu koşulu sağlamak için a veya b birinin ya da her ikisinin de tek sayı olması lazımdır.

Denklem (2) de gördüğümüz gibi eşitliğin sol tarafındaki (a^2) terimi çift sayıdır. Bu terimin çift olabilmesi için a sayısının da çift olması gerekir. Çünkü, a sayısı tek ise, a'nın kendisi ile çarpımı da tek sayıyı verecektir. 

Elimizdeki verilere göre a sayısının çift olması gerektiğini bulduk. Dolayısıyla, kök iki eğer rasyonelse, üst paragrafta ki bulgumuza göre b tek sayı olmak zorundadır- bunu aklınızın bir kenarında tutun. Şimdi, a'yı çift sayı olarak şu şekilde ifade edelim:

a=2k                        (3) 

Denklem (3)'deki a'ya denk gelen '2k' terimini Denklem (2)'deki a yerine koyalım:

2(b^2)=4(k^2)        (4)

Sadeleştirme yaparsak şu eşitliği bulmuş oluyoruz:

(b^2)=2(k^2)          (5)

Ancak Denklem (2) ve (5)''e göre a değeri de b değeri de çift sayı çıkmaktadır! Dolayısıyla, kök ikinin ispatı için gereken, a ve b'nin aralarında asal olma koşulunu sağlayamıyoruz.

Sonuç olarak da √2 rasyonel sayı diyemediğimiz için √2 irrasyonel sayı oluyor. 

√3'ün İrrasyonelliği

Kök üçün, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök üç = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

3(b^2)=(a^2)          (2)

Denklem 2’nin sağlanabilmesi için a ve b'nin her ikisinin de ya çift ya da tek sayı olması gereklidir. Ancak a ve b aralarında asal olduğu için ikisinin de çift olma ihtimali yoktur. Dolayısıyla Denklem 2'nin sağlanabilmesi için a ve b’nin tek olması gereklidir. Şimdi a ve b'yi tek sayı olarak farklı bir şekilde ifade edelim:

a= 2m+1              (3)

b= 2n+1               (4)

Denklem üç ve dördü, denklem ikinin içerisine koyarsak:

12n^2+12n+3 = 4m^2+4m+1         (5)

Denklem 5'i aşağıdaki şekle sadeleştirirsek:

6n^2+6n+1 = 2(m^2+2m)              (6)

Denklem 6'daki eşitliğin sağ tarafı çift sol tarafı tek olduğu için değerler birbiriyle eşitlenemeyecek, dolayısıyla Denklem 6 geçersiz olacaktır. Dolayısıyla karekök 3’ü sağlayabilen herhangi bir rasyonel a/b sayısı bulunamayacaktır.

√5'in İrrasyonelliği

Şimdi Kök 5'in, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök 5 = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

5(b^2)=(a^2)        (2)

Denklem (2) ye göre eğer b çift sayı ise a, a^2 ve b^2 çift sayı olmalıdır. Benzer şekilde eğer b tek sayı ise, a, a^2 ve b^2 tek sayı olmalıdır. Şimdi a'yı ve b'yi aşağıdaki gibi tek sayı olarak ifade edelim:

a= 2m+1              (3)

b= 2n+1              (4)

Denklem (3) ve (4) ü, denklem (2) nin içerisine koyarsak:

5[(2n+1)^2]=(2m+1)^2         (5)

Denklem (5) in her iki tarafını açalım:

20n^2+20n+5 = 4m^2+4m+1         (6)

Denklem (6) nın her iki tarafından bir çıkaralım:

20n^2+20n+4 = 4m^2+4m             (7)

Denklemin her iki tarafını 4'e bölelim:

5n^2+5n+1 = m^2+m                     (8)

Denklem (8) deki terimleri sadeleştirirsek:

5n(n+1) + 1 = m (m+1)                   (9)

Şimdi Denklem (9) deki "n(n+1)" ve "m(m+1) çarpımlarına dikkatle bakalım. Bu çarpımların sonucu, n veya m terimi ister çift ister tek olsun, her zaman çift çıkacaktır. Dolayısıyla Denklem (8) 'i şu şekilde ifade edebiliriz:

5*Çift + 1 = Çift                           (10)

Dikkat ederseniz Denklem (10)'un sağ tarafı çift olurken, sol tarafı tek sayı olmaktadır. Matematikte hem çift hem de tek sayı olmadığı için Denklem (1) geçersiz olmaktadır. Dolayısıyla kök 5 sayısı rasyonel bir sayı olamaz.

***

Kaynaklar:

Simit, C. (2017) Karekök 2’nin İrrasyonel Olduğunun İspatı https://nettenyazar.blogspot.com.tr/2014/10/karekok-ikinin-irrasyonel-oldugunun.html adresinden elde edilmiştir.

Simit, C. (2017) Karekök 5’in İrrasyonel Olduğunun İspatı https://nettenyazar.blogspot.com.tr/2017/02/karekok-5in-irrasyonel-say-oldugunun.html adresinden elde edilmiştir.

Simit, C. (2017) Karekök Üçün İrrasyonel Olduğunun İspatı https://nettenyazar.blogspot.com.tr/2015/01/karekok-ucun-irrasyonel-oldugunun-ispat.html adresinden elde edilmiştir.